Urodził się 7 czerwca 1922 r. w samym centrum Krakowa, w kamienicy przy Rynku Głównym 15. Rodzina przeniosła się następnie do dzielnicy Podgórze, gdzie młody Aleksander zdał maturę w tamtejszym gimnazjum. W czasie wojny był żołnierzem Armii Krajowej. Po jej zakończeniu studiował historię i filologię klasyczną na Uniwersytecie Jagiellońskim. Ukończył je w 1949 r. Od tej pory był czynnie związany z uczelnią macierzystą jako pracownik naukowy, przez 43 lata, do czasu przejścia na emeryturę. Zaczynał jako asystent prof. Ludwika Piotrowicza w Katedrze Historii Starożytnej UJ. Promotorem jego doktoratu (1960) był prof. Józef Wolski. A. Krawczuk stał się z czasem jego następcą na stanowisku szefa Zakładu Historii Starożytnej. Przez 29 lat wykładał także na Akademii Pedagogicznej (obecny Uniwersytet Pedagogiczny).

Historycy przekonują, że napisana na podstawie pracy doktorskiej Krawczuka książka "Kolonizacja sullańska" (1960) zachowała do dziś wartość naukową. Jej autor szedł zaś za ciosem i zaczął pisać kolejne książki, tym razem w formie opowieści lub esejów. Już pierwsza z nich pt. "Gajusz Juliusz Cezar" (1962) stała się bestsellerem. Napisał w sumie 36 książek, tłumaczonych potem na wiele języków świata, przedstawiających znane postacie i wydarzenia historii starożytnej m. in. "Poczet cesarzy rzymskich", "Poczet cesarzy bizantyjskich", "Rzym i Jerozolima", "Pan i jego filozof. Rzecz o Platonie", "Maraton", "Wojna trojańska", "Siedmiu przeciw Tebom", „Sennik Artemidora”. Jego ostatnia publikacja książkowa "Spotkania z Petroniuszem" ukazała się w 2005 r.

Te książki, pisane w sposób piękny i przystępny, zawładnęły wyobrażeniami Polaków o historii starożytnej. Swoje zrobiły także programy telewizyjne z cyklu "Antyczny świat profesora Krawczuka". W rozmowie z Elżbietą Wojnarowską ("Urodziłem się sto lat temu", miesięcznik "Kraków  i świat", nr 6/2022) uczony wspomniał, że uważa się za ucznia prof. Władysława Tatarkiewicza, jeśli idzie o przystępny, jasny styl swego pisarstwa. "Ale to wymaga dużo  wysiłku, tak lekko, w taki sposób pisać" - dodał.

Zaangażował się w działalność polityczną. Był m.in. ministrem kultury i sztuki w latach 1986-1989.

Obserwując rzeczywistość pod koniec życia, nie pałał optymizmem. "Obserwuję z przykrością wielką dekadencję naszych czasów, i to w wielu dziedzinach życia społecznego, świadome przekreślanie wielowiekowego postępu myśli ludzkiej, szlachetnych działań wielu jednostek, patriotycznych dążeń do wolności. I umiera też historia. To jest zupełna zmiana świata, nauczania, obyczajów, patrzenia na świat w ogóle" - powiedział we wspomnianej rozmowie z E. Wojnarowską.